Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Cara yang dapat digunakan untuk mengetahui luas daerah yang dibatasi kurva adalah dengan menggunakan integral. Proses yang perlu dilakukan adalah menggambarkan kurva, menentukan batas integral, dan kemudian menentukan serta menghitung nilai integralnya. Pada kasus soal tertentu, cara tersebut dianggap lama karena ada rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Untuk jenis soal tertentu, sobat idschool hanya perlu menggunakan rumus diskriminan dari persamaan kuadrat untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva. Sebelumnya, perhatikan persamaan kuadrat dan rumus diskriminan untuk mengingatkan kembali sedikit materi persamaan kuadrat.

Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Jika diberikan persamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum ax<sup>2</sup> + bx + c = 0 maka nilai diskriminannya dapat diperoleh dengan menggunakan rumus D = b<sup>2</sup> – 4ac.

Selain dapat digunakan pada rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva, diskriminan juga dapat digunakan untuk menyelidiki suatu kurva apakah memotong sumbu x di dua titik, memotong sumbu x di suatu titik, atau tidak memotong sumbu x. Nilai diskriminan juga dapat digunakan untuk menyelidiki apakah gambar kurva terbuka ke atas atau ke bawah. Sehingga, nilai diskriminan cukup penting untuk mengetahui sketsa gambar dari suatu fungsi kuadrat.

Luas daerah yang dibatasi kurva dapat dihitung menggunakan integral, termasuk dalam bahasan aplikasi integral. Untuk jenis soal tertentu, ada rumus cepat yang dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Bagaimanakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva? Dan soal seperti apa yang dapat diselesaikan menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva? Simak lebih lanjut pada bahasan di bawah.

Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Pada bagian awal telah disinggung mengenai nilai diskriminan dari suatu persamaan kuadrat. Dalam menghitung luas daerah yang dibatasi kurva, akan menggunakan nilai diskriminan tersebut. Berikut ini adalah rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Rumus di atas diperoleh dengan menggunakan konsep limit dan integral. Kita akan mencoba menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva di atas pada tipe-tipe soal tertentu. Sebelumnya, kita akan mengerjakan contoh soal menghitung nilai luas yang dibatasi kurva dengan cara runut terlebih dahulu. Selanjutnya, kita akan membandingkan hasil keduanya.

Salah satu tipe soal yang dapat dikerjakan menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva adalah sebagai berikut.

Contoh Soal 1: Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Luas daerah yang dibatasi oleh y=x2 – 16 dan sumbu x adalah … satuan luas.

Pertama, untuk mengetahui luas daerah seperti yang diberikan pada contoh soal di atas.

Cara I – Cara runut menghitung luas daerah yang dibatasi kurva

Pertama, akan dikerjakan soal yang diberikan diatas dengan cara runut.

Gambar dari persamaan kuadrat y = x2 – 16 terlebih dahulu. Kemampuan menggambar kurva persamaan kuadrat sangat diperlukan di sini. Berikut ini adalah sketsa gambar persamaan kuadrat yang diberikan pada soal.

Luas daerah yang dibatasi kurva ditunjukkan oleh bagian yang diarsir. Batas integralnya adalah – 4 dan 4.

Sehingga, luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 16 adalah seperti berikut.

$L = \int_{-4}^{4} \left( x^{2} - 16 \right) dx$

$L = \left[ \frac{1}{3} x^{3} - 16x \right]_{-4}^{4}$

$L = \left( \frac{1}{3}(4)^{3} - 16(4) \right) - \left( \frac{1}{3}(-4)^{3} - 16(-4) \right)$

$L = \left( \frac{1}{3} \times 64 - 64 \right) - \left( \frac{1}{3} \times (- 64) + 64 \right)$

$L = \frac{64}{3} - 64 + \frac{64}{3} - 64$

$L = \frac{128}{3} - 128$

$L = - \frac{384}{3} + \frac{128}{3}$

$L = - \frac{256}{3} = - 85 \frac{1}{3} \; \textrm{sat. luas}$

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 16 dengan sumbu x adalah 52 satuan luas. Tanda negatif menunjukkan bahwa daerah luas berada di bawah sumbu x.

Selanjutnya, kita akan mencari luas daerah tersebut menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Cara II – Menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dengan rumus cepat

Masih pada contoh soal yang sama. Kedua, akan dikerjakan soal yang diberikan diatas dengan rumus cepat cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah y = x2 – 16, sehingga diperoleh informasi nilai-nilai berikut.

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 16$

Sehingga, luas daerah yang dibatasi kurva tersebut adalah

$L = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2}$

$L = \frac{b^{2} - 4ac}{6a^{2}}$

$L = \frac{\left( 0^{2} - 4(1)(-16) \right) \sqrt{0^{2} - 4(1)(-16)}}{6 \times 1^2}$

$L = \frac{64 \sqrt{64}}{6}$

$L = \frac{64 \times 8}{6}$

$L = \frac{512}{6} = 85 \frac{1}{3} \; \textrm{sat. luas}$

Selesai, diperoleh luas yang sama untuk kedua cara. Keduanya menunjukkan hasil perhitungan yang sama, bukan?

Tapi ingat rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva ini hanya berlaku pada tipe-tipe soal tertentu, tidak berlaku untuk semua tipe soal mencari luas daerah yang dibatasi kurva.

Contoh lain untuk tipe soal yang dapat menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi integral adalah sebagai berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal 2: Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Luas daerah yang dibatasi kurva $f(x) = x^{2} - x - 6$ adalah ….

Di sini, Kita akan langsung menghitung luas daerah yang dibatasi kurva $f(x) = x^{2} - 2x + 1$ menggunakan rumus cepat.

Mencari nilai determinan:

$D = b^{2} - 4ac$

$D = (-1)^{2} - 4\cdot 1 \cdot -6$

$D = 1 + 24 = 25$

Mencari luas daerah yang dibatasi kurva:

$L = \frac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}$

$L = \frac{25 \sqrt{25}}{6 (1)^{2}}$

$L = \frac{25 \times 5}{6}$

$L = \frac{125}{6} = 20 \frac{5}{6} \; \textrm{sat. luas}$

Catatannya adalah rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva ini dapat digunakan jika diketahui suatu persamaan kuadrat dan luas daerah yang akan dicari dibatasi oleh persamaan kuadrat tersebut dan sumbu x.

Cari Blog Ini

Kalkulu 2